1. Liczba $\frac{25^{5} \cdot 3^{10} \cdot 4^{8}}{10^{6} \cdot 6^{10}}$ jest równa
A. $75$
B. $1$
C. $5^4$
D. $3^{4}$
Rozwiązanie
2. Dla $a = -\sqrt{2}$ wartość wyrażenia $\frac{a^2 - 1}{1 + a}$ jest równa
A. $\sqrt{2} + 1$
B. $-\sqrt{2} - 1$
C. $-\sqrt{2} + 1$
D. $\sqrt{2} - 1$
Rozwiązanie
3. Liczba $\sqrt{32} - \sqrt{2}$ jest równa
A. $3\sqrt{2}$
B. $16$
C. $\sqrt{30}$
D. $8$
Rozwiązanie
4. Liczba $log_{3}15 - log_3{5}$ jest równa
A. $1$
B. $5$
C. $2$
D. $3$
Rozwiązanie
5. Liczba uczestników pewnego kursu maturalnego wzrosła o $30\%$ w stosunku do roku poprzedniego i wynosi 52 osoby. Ilu uczestników brało udział w kursie w roku poprzednim?
A. $42$
B. $29$
C. $40$
D. $39$
Rozwiązanie
6. Do zbioru rozwiązań równania $(x + \sqrt{5})^2 = 5$ należy
A. $x = 1$
B. $x = -1$
C. $x = 2\sqrt{5}$
D. $x = -2\sqrt{5}$
Rozwiązanie
7. Miejscem zerowym funkcji kwadratowej $f$, określonej wzorem $f(x) = x^2 + \sqrt{6}x + 1$ jest
A. $x_0 = \sqrt{6} - 1$
B. $x_0 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$
C. $x_0 = \frac{-\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$
D. $x_0 = -1$
Rozwiązanie
8. Wierzchołek paraboli opisanej równaniem $y = (x - \sqrt{3})^2 + 4$ znajduje się w punkcie
A. $(\sqrt{3}, 4)$
B. $(-\sqrt{3}, 4)$
C. $(-\sqrt{3}, -4)$
D. $(\sqrt{3}, -4)$
Rozwiązanie
9. Do wykresu funkcji $f(x) = \frac{x^2 - 7}{x - 3}$ należy punkt
A. $P = (0, -\frac{7}{3})$
B. $P = (1, \frac{7}{3})$
C. $P = (-1, \frac{3}{2})$
D. $P = (-1, -\frac{3}{2})$
Rozwiązanie
10. Dane są dwie funkcje $f(x) = x\sqrt{2} - 3$ oraz $g(x) = x - 2$. Funkcje przyjmują takie same wartości dla
A. $x = \sqrt{2} + 1$
B. $x = \sqrt{2} - 1$
C. $x = -1$
D. $x = 0$
Rozwiązanie
11. Dla jakich wartości parametru $m$ funkcje $f(x) = (m^2 - m + 2\sqrt{2})x + \sqrt{7}$ i $g(x) = (3 - m)x + 4\sqrt{5}$ są równoległe
A. $m \in \{2\}$
B. $m \in \{\sqrt{2} - 1, 1 - \sqrt{2}\}$
C. $m \in \{\sqrt{2}\}$
D. $m \in \{0, \sqrt{2} - 2\}$
Rozwiązanie
12. Wykres funkcji jest prostopadły $f(x) = x\sqrt{3} + 1$ do wykresu funkcji
A. $y = \sqrt{3}x$
B. $y = - \sqrt{3}x$
C. $y = \frac{1}{2}x$
D. $y = \frac{-\sqrt{3}}{3}x$
Rozwiązanie
13. Liczby $4\sqrt{2} + 3, 2\sqrt{2} + 7$ są są odpowiednio trzecim i piątym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego $(a_n)$. Wyraz $a_8$ tego ciągu jest równy
A. $\sqrt{2} + 9$
B. $-\sqrt{2} + 11$
C. $-\sqrt{2} + 13$
D. $-\sqrt{2} + 2$
Rozwiązanie
14. Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = (\frac{1}{2})^{-n^2 - 1} + 1$ dla $n > 0$. Wyraz $a_3$ jest równy
A. $1\frac{1}{1024}$
B. $1$
C. $1025$
D. $512$
Rozwiązanie
15. Suma wszystkich naturalnych parzystych liczb dwucyfrowych wynosi
A. $2430$
B. $4905$
C. $2450$
D. $4900$
Rozwiązanie
16. Miejscem zerowym funkcji liniowej opisanej równaniem $y = -\frac{1}{5}x + \sqrt{7}$ jest
A. $x_0 = 0$
B. $x_0 = \frac{\sqrt{5}}{2}$
C. $x_0 = -\frac{\sqrt{5}}{2}$
D. $x_0 = 5\sqrt{7}$
Rozwiązanie
17. Dane są dwie proste $y_1 = 2x - 3$ i $y_2 = mx + 1$, punktem przecięcia obydwu wykresów jest $P = (3, 3)$ dla parametru $m$ równego
A. $m = -2$
B. $m = 2$
C. $m = \frac{2}{3}$
D. $m = -\frac{2}{3}$
Rozwiązanie
18. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego wpisanego w okrąg o promieniu $r = \frac{\sqrt{5}}{2}$ jest równa
A. $2\sqrt{5}$
B. $\sqrt{5}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$
D. $\sqrt{15}$
Rozwiązanie
19. Punkt $B$ jest obrazem punktu $A$ w symetrii względem osi $X$ układu współrzędnych. A punkt $A$ jest obrazem punktu $C = (1; 2)$ w symetrii względem osi $Y$ układu współrzędnych. Punkt $B$ jest równy
A. $B = (-1; -2)$
B. $B = (-2; -1)$
C. $B = (2; -1)$
D. $B = (-1; 2)$
Rozwiązanie
20. Dane są dwa zbiory $A = \{1, 2, 3, 4\}$ i $B = \{3, 4, 5, 6\}$. Losujemy dwie liczby, najpierw ze zbioru $A$, potem ze zbioru $B$, pierwsza wylosowana liczba jest cyfrą dziesiątek, a druga jedności. Liczbę parzystą można wylosować na
A. $8!$ sposobów
B. $4$ sposoby
C. $16$ sposobów
D. $8$ sposobów
Rozwiązanie
21. Pole pewnego trójkąta o bokach długości $6, 8, 10$ jest równe
A. $40$
B. $24$
C. $16$
D. $30$
Rozwiązanie
22. Wiadomo, że $sin \alpha$ pewnego kąta ostrego wynosi $\frac{\sqrt{3}}{2}$, wówczas kąt $\alpha$ jest równy
A. $30^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $90^{\circ}$
D. $45^{\circ}$
Rozwiązanie
23. Średnia arytmetyczna liczb $7, 9, 10, 11, 3$ wynosi
A. $7$
B. $5$
C. $10$
D. $8$
Rozwiązanie
24. Pole podstawy sześcianu jest równe $36$. Jego objętość $V$ wynosi
A. $108$
B. $216$
C. $12$
D. $18$
Rozwiązanie
25. Wysokość stożka o polu podstawy równym $10 \pi$ oraz objętości $V = 30 \pi$ jest równa
A. $6$
B. $27$
C. $9$
D. $18$
Rozwiązanie
26. (0 - 2) Rozwiąż nierówność $x(x^2 - 2\sqrt{3} + 3)(x^2 + x -6) > 0$.
picture
Rozwiązanie
27. (0 - 2) Rozwiąż równanie $(2x + 1)(x^2 - 2\sqrt{5} + 5)x^2 = 0$.
picture
Rozwiązanie
28. (0 - 2) Wykaż, że stosunek pola koła, do pola trójkąta prostokątnego równoramiennego wpisanego w to koło wynosi $\pi$.
picture
Rozwiązanie
29. (0 - 2) Oblicz liczbę liczb czterocyfrowych parzystych, w których nie występują cyfry należące do zbioru $A = \{0, 1, 3, 4 \}$.
picture
Rozwiązanie
30. (0 - 2) Dana jest funkcja liniowa o równaniu $f_1(y) = -2x + 1$. Wyznacz równanie funkcji liniowej prostopadłej do funkcji $f_1$, wiedząc, że do jej wykresu należy punkt $P = (2\frac{1}{2}, 3)$
picture
Rozwiązanie
31. (0 - 2) Wykaż, że nierówność $2x^2 + 8xy + 9y^2 + 1> 0$ jest prawdziwa dla $x, y \in \mathbb{R}$.
picture
Rozwiązanie
32. (0 - 4) Wyznacz wartośc wyrażenia $\frac{1}{sin \alpha} + \frac{1}{cos \alpha}$, wiedząc, że $sin \alpha + cos \alpha = \frac{1}{2}$
picture
Rozwiązanie
33. (0 - 4) Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$, $n > 0$. Wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Wiadomo, że wyrazy tego ciągu spełniają warunek: $$a_5 - a_4 - 42a_3 = 0 $$ Oblicz iloraz ciągu $(a_n)$, wiedząc, że jest on dodatni oraz $a_1 \neq 0$.
picture
Rozwiązanie
34. (0 - 4) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy wynosi $\alpha$. Długość boku podstawy jest równa $a$. Oblicz objętość tego ostrosłupa oraz pole powierzchni bocznej.
picture
Rozwiązanie